Question

在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点M（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．

Answer 1

分析：（1）先设出抛物线的方程，把点A代入即可求得p，则抛物线的方程可得．
（2）根据（1）中抛物线的方程求得焦点的坐标，利用A点求得OA的斜率，进而求得其垂线的斜率，利用点斜式求得其方程．
（3）设出D，E的坐标和直线DE的方程，代入抛物线方程求得交点纵坐标，利用ME=2DM进而等式求得k和m的关系式，进而利用两点间的距离公式表示出DE的长，把m和k的关系式代入即可．

解答：解：（1）由题意，可设抛物线的标准方程为y²=2px，
因为点A（2，2），在抛物线上，所以p=1，
抛物线的标准方程为y²=2x
（2）由（1）可得焦点F坐标是（

1

2

，0），又直线AO的斜率为

2

2

=1，
故与直线OA垂直的直线的斜率为-1，
因此所求直线的方程为x+y-

1

2

=0
（3）设点D和E的坐标分别是（x₁，y₁）和（x₂，y₂），直线DE的方程是y=k（x-m）．
k≠0，将x=

y

k

+m代入抛物线方程有ky²-2y-2km=0，解得y_1，2=

1± 1+2mk2

k

由ME=2DM知1+

1+2mk2

=2（

1+2mk2

-1），化简得k²=

4

m

，
∴DE²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=

9

4

（m²+4m）
所以f（m）=

3

2

m2+4m

（m＞0）

点评：本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力．