Question

14．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为-$\frac{3}{4}$，则椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通过设点A（-a，0），B（a，0），M（m，n），利用k_AM•k_BM=-$\frac{3}{4}$及$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，计算即得结论．

解答 解：设点A（-a，0），B（a，0），M（m，n），
则k_AM•k_BM=$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$）=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（a²-m²），即$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．