题目内容
10.已知函数f(x)=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x(a≠0).若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线与在点(4,f(4))处的切线互相平行,求实数a的值.分析 先求出函数的导数f′x),分别求得切线的斜率f′(2),f′(4),由切线平行的条件:斜率相等,可得方程,从而求出a的值.
解答 解:∵f(x)=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x的导数为
f′x)=$\frac{a}{x}$-$\frac{2{a}^{2}}{x}$+1,
∴在点(2,f(2))处切线斜率为f′(2)=$\frac{a}{2}$-a2+1,
在点(4,f(4))处切线斜率为f′(4)=$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$a2+1.
∵两切线平行,
∴$\frac{a}{2}$-a2+1=$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$a2+1.
解得a=$\frac{1}{2}$(0舍去).
故a的值为$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率,主要考查导数的几何意义和直线平行的条件,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 63种 | B. | 31种 | C. | 8种 | D. | 7种 |