题目内容

设α∈（0， $数学公式$ ），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（ $数学公式$ ）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），求：
（1）f（ $数学公式$ ）及sinα的值；
（2）函数g（x）=sin（α-2x）的单调递增区间；
（3）（理）n∈N时，a_n= $数学公式$ ，求f（a_n），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式（不需证明）．

解：（1）f（ $\text{[math]}$ ）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，
又：f（ $\text{[math]}$ ）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα?sinα= $\text{[math]}$
∴f（ $\text{[math]}$ ）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）由（1）知：sinα= $\text{[math]}$ ，又α∈（0， $\text{[math]}$ ）
∴α= $\text{[math]}$
∴g（x）=sin（ $\text{[math]}$ ），
∴g（x）的增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．
（3）∵n∈N，a_n= $\text{[math]}$ ，f（a_n）=f（ $\text{[math]}$ ）（n∈N，n≥2）
∴f（a_n）是首项为f（a₁）= $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，故f（a_n）=f（a₁）•q^n-1′= $\text{[math]}$ ，猜测：f（x）=x．
分析：（1）分别取x=1，y=0与x=0，y=1，求出sinα的值，从而求出f（ $\text{[math]}$ ）的值；
（2）先求出α，然后根据正弦函数的单调区间求出该函数的单调区间，将 $\text{[math]}$ 看成整体进行求解即可；
（3）根据条件可得f（a_n）是首项为f（a₁）= $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，即可猜测：f（x）=x．
点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，以及数列与函数的综合，同时考查了计算能力，属于中档题．