题目内容
设t>0,已知函数f (x)=x2(x-t)的图象与x轴交于A、B两点.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率为k,当x0∈(0,1]时,k≥-
恒成立,求t的最大值;
(3)有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点C,D,若四边形ABCD为菱形,求t的值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率为k,当x0∈(0,1]时,k≥-
1 | 2 |
(3)有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点C,D,若四边形ABCD为菱形,求t的值.
分析:(1)由导数大于0可求单调递增区间,导数小于0可求单调递减区间;
(2)当x0∈(0,1]时,k≥-
恒成立,转化为即t≤
,x0∈(0,1]只需求其最小值;
(3)由题意画出图象,用距离相等可求t的值.
(2)当x0∈(0,1]时,k≥-
1 |
2 |
3x02+
| ||
2x0 |
(3)由题意画出图象,用距离相等可求t的值.
解答:解:(1)∵函数f (x)=x2(x-t)=x3-tx2,∴f′(x)=3x2-2tx=x(3x-2t)
令x(3x-2t)<0,解得0<x<
t,(t>0);令x(3x-2t)>0,解得x<0,或x>
,
故函数f (x)的单调递减区间为(0,
);单调递增区间为(-∞,0)和(
,+∞).
(2)由题意及(1)知,k=f′(x0)=3x02-2tx0,x0∈(0,1],k≥-
恒成立
即当x0∈(0,1]时,3x02-2tx0≥-
恒成立,即t≤
,x0∈(0,1]
即函数g(x)=
,x∈(0,1]只需求出其最小值即可,
g(x)=
=
+
≥2
=
,当且仅当
=
,
即x=
∈(0,1]时,取到等号,故g(x)min=
可得t≤
故t的最大值为:
(3)由以上可知f(x)的图
由f(
)=-
即C(
,-
)B(t,0)
由于四边形ABCD为菱形,故|AB|=|BC|即t=
解得t=
故t的值为:
令x(3x-2t)<0,解得0<x<
2 |
3 |
2t |
3 |
故函数f (x)的单调递减区间为(0,
2t |
3 |
2t |
3 |
(2)由题意及(1)知,k=f′(x0)=3x02-2tx0,x0∈(0,1],k≥-
1 |
2 |
即当x0∈(0,1]时,3x02-2tx0≥-
1 |
2 |
3x02+
| ||
2x0 |
即函数g(x)=
3x2+
| ||
2x |
g(x)=
3x2+
| ||
2x |
3x |
2 |
1 |
4x |
|
| ||
2 |
3x |
2 |
1 |
4x |
即x=
| ||
6 |
| ||
2 |
| ||
2 |
故t的最大值为:
| ||
2 |
(3)由以上可知f(x)的图

2t |
3 |
4t3 |
27 |
2t |
3 |
4t3 |
27 |
由于四边形ABCD为菱形,故|AB|=|BC|即t=
(t-
|
3
| |||
2 |
故t的值为:
3
| |||
2 |
点评:本题为导数的综合应用,设计单调区间的求解,恒成立问题以及由性质画图象,属中档题.

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