Question

【题目】(1)．选修4—1：几何证明选讲

如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC．求证： CA＝3CB．

(2)．选修4—2：矩阵与变换

设二阶矩阵A＝．

（Ⅰ）求A－1；

（Ⅱ）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C：6x2－y2＝1，求曲线C的方程．

(3)．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求实数a的值．

(4)．选修4—5：不等式选讲

解不等式：|x－2|＋|x＋1|≥5．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（Ⅰ）（Ⅱ）8y2－3x2＝1（3）1±（4）(－∞，－2]∪[3，＋∞).

【解析】试题分析：（1）连接， , 为圆的切线， ， 从而,可得，进而可得结果；（2）曲线上任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点， ，代入，即可得结果；（3）先求直线的普通方程与圆的普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得结果；（4）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.

试题解析：（1）证明：连接OD，因为DA=DC，

所以∠DAO=∠C．

在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，

所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．

因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，

从而DOC＋C＝90°，

即2∠C＋∠C＝90°，故∠C＝30°，

所以OC＝2OD＝2OB，

所以CB＝OB，所以CA＝3CB．

（2）（Ⅰ）根据逆矩阵公式，可得A－1＝．

（Ⅱ）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P (x，y)，

则＝＝，所以

因为(x，y)在曲线C上，所以6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，化简得8y2－3x2＝1，

所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1

（3）由直线l的参数方程为，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0．

由圆C的参数方程为，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－2a)2＝1．

因为直线l与圆C相切，所以＝1，

解得a＝1±．

所以实数a的值为1±．

（4）(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；

(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；

(3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3；

所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞).