Question

18．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂（2，0）与x轴垂直的直线交椭圆于点M，且|MF₂|=3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点P（0，1），问是否存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{{b}^{2}}{a}=3}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）假设存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点．则直线l的斜率存在，设l方程为：y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点N（x₀，y₀）．与椭圆方程联立化为（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，由△＞0，化为：12+16k²＞t²．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得N．利用PN⊥l，及其△＞0，解出即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{{b}^{2}}{a}=3}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=2，a=4，b²=12．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）假设存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点．
则直线l的斜率存在，设l方程为：y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点N（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化为（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，
△=64k²t²-4（3+4k²）（4t²-48）＞0，
化为：12+16k²＞t²．
∴x₁+x₂=$\frac{-8kt}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4kt}{3+4{k}^{2}}$，y₀=kx₀+t=$\frac{3t}{3+4{k}^{2}}$．
∴k_PN=$\frac{\frac{3t}{3+4{k}^{2}}-1}{\frac{-4kt}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{3t-3-4{k}^{2}}{-4kt}$，
∵PN⊥l，
∴$\frac{3t-3-4{k}^{2}}{-4kt}$•k=-1，
化为：t=-3-4k²．
代入△＞0，
可得12+16k²＞（-3-4k²）²．
化为16k⁴+8k²-3＜0，
解得：${k}^{2}＜\frac{1}{4}$，即$-\frac{1}{2}＜k＜\frac{1}{2}$．
因此存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点．直线l的斜率范围是$-\frac{1}{2}＜k＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．