Question

1．斐波那契数列{a_n}为1，1，2，3，5，8…，已知S${\;}_{{a}_{n}}$为数列{a_n}的前n项和，则$\frac{{S}_{{a}_{2015}}}{{a}_{2015}}$=$\frac{（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2017}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2017}-\sqrt{5}}{（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2015}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2015}}$．

Answer 1

分析 结合斐波那契数列的性质构造特征方程，求出a_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$，前n项和公式，结合${S}_{{a}_{n}}$=a_n+2-1，由此能求出$\frac{{S}_{{a}_{2015}}}{{a}_{2015}}$．

解答 解：斐波那契数列{a_n}为1，1，2，3，5，8…，
递推关系为：
a₁=a₂=1，a_n=a_n-1-a_n-2，（n≥3），
由a_n+2=a_n+1+a_n，得到a_n+2-a_n+1-a_n=0
构造特征方程 x²-x-1=0，
令它的两个根是p，q，则有pq=-1，p+q=1，
下面我们来证 {a_n+1-pa_n}是以q为公比的等比数列．
为了推导的方便，令a₀=1，仍满足a_n+2=a_n+1+a_n
a_n+1-pa_n
=a_n+a_n-1-pa_n
=（1-p） a_n-pqa_n-1
=q（a_n-pa_n-1）
所以：{a_n+1-pa_n}是以q为公比的等比数列．
a₁-pa₀=1-p=q，
所以a_n+1-pa_n=q*qⁿ=qⁿ⁺¹ ①
同理 a_n+1-qa_n=p*pⁿ=pⁿ⁺¹ ②
①-②：（q-p）a_n=qⁿ⁺¹-pⁿ
因为p=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，q-p=√5，
所以a_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$，
前n项和公式为${S}_{{a}_{n}}$=a_n+2-1=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺²（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺²]-1，
∴$\frac{{S}_{{a}_{2015}}}{{a}_{2015}}$=$\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2017}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2017}]-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2015}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2015}]}$
=$\frac{（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2017}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2017}-\sqrt{5}}{（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2015}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2015}}$．
故答案为：$\frac{（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2017}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2017}-\sqrt{5}}{（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2015}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2015}}$．

点评 本题考查斐波那契数列{a_n}前2015项和与第2015项的求法，是中档题，解题时要熟练掌握斐波那契数列的性质的灵活运用．