题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若与
交于
,
两点,求
的值.
【答案】(Ⅰ)的普通方程为
;
的直角坐标方程
;(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)消去参数即可求得
的普通方程,利用极坐标和直角坐标的互化公式
,
,即可求得
的直角坐标方程;
(Ⅱ)理解参数的几何意义并利用其几何意义,联立直线和曲线方程,利用韦达定理进行运算求解即可.
(1)由(
为参数),消去参数
,得
,
即的普通方程为
.
由,得
,
将,
代入,得
,
即的直角坐标方程
.
(2)由(
为参数),可得
(
),
故的几何意义是抛物线
上的点(原点除外)与原点连线的斜率.
由题意知,当时,
,
则与
只有一个交点
不符合题意,故
.
把(
为参数)代入
,
得,设此方程的两根分别为
,
,
由韦达定理可得,,
,
所以.
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