题目内容
19.已知f(x)在定义域R上是单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).(1)求证:F(2-x)=-F(x);
(2)求证:F(x)在定义域R上是单调增函数;
(3)若F(a)+F(b)>0,求证:a+b>2.
分析 (1)利用代入法,求出F(2-x)的解析式,可得F(2-x)=-F(x);
(2)根据复函函数的单调性,可得f(2-x)在定义域R上是单调减函数,结合函数单调性的性质:“增-减=增”,可得F(x)在定义域R上是单调增函数;
(3)假设F(a)+F(b)>0时,a+b≤2,结合(1)(2)中的结论,得到矛盾,进而可得原结论正确.
解答 证明:(1)∵F(x)=f(x)-f(2-x).
∴F(2-x)=f(2-x)-f[2-(2-x)]=f(2-x)-f(x)=-F(x);
(2)∵f(x)在定义域R上是单调增函数,
∴f(2-x)在定义域R上是单调减函数,
根据函数单调性的性质:“增-减=增”可得:F(x)=f(x)-f(2-x)在定义域R上是单调增函数.
(3)假设F(a)+F(b)>0时,a+b≤2,
若a+b≤2,则a≤2-b,
则F(a)+F(b)≤F(2-b)+F(b)=-F(b)+F(b)=0,
这与已知中F(a)+F(b)>0矛盾,
故假设不成立,
故a+b>2
点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用,根据已知令x,y等于适合的值,进而“凑”出要解答或证明的结论,是解答的关键.
练习册系列答案
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9.下表是枝江一中高三学生公寓楼1~4月份用水量(单位:吨)的一组数据:
由散点图可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是$\widehat{y}$=-0.7x+a,则预测5月份的用水量约为( )
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
用水量y | 4.5 | 4 | 3 | 2.5 |
A. | 1.6 | B. | 1.65 | C. | 1.7 | D. | 1.75 |
11.函数f(x)=2x-x2的最大值是( )
A. | -1 | B. | 0 | C. | 1 | D. | 2 |
8.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=0,则( )
A. | f(x1)<f(x2) | B. | f(x1)>f(x2) | ||
C. | f(x1)=f(x2) | D. | f(x1)与f(x2)的大小不能确定 |