题目内容
【题目】已知函数在
处取得极值.
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若对任意的
,
恒成立,证明
.
参考数据:.
【答案】(1) ;
在
递减,在
递增.(2)见证明
【解析】
(1)根据条件可得,解出m代入f'(x)中,然后判断写出单调区间即可;
(2)将问题转化为g(x)=xlnx+1﹣ax﹣b≥0恒成立,求出g(x)的最小值,然后由g(x)min≥0,可得ab≤a﹣aea﹣1,然后构造函数h(x)=x﹣xex﹣1(x>0),求出h(x)的最大值即可证明ab.
解:(1)∵f(x)=(x+m)lnx+1,∴f'(x)(x>0),
∵f(x)在x处取得极值,∴
, ∴m=0,
∴f(x)=xlnx+1,∴f'(x)=lnx+1,
∵当0<x时,f'(x)<0;当x
时,f'(x)>0,
∴f(x)的单调减区间为(0,),单调增区间为(
,
)
(2),即
.
记,则
,由
,得
.
所以.
由,得
,于是
,其中
.
记,则
,
,
显然时,
,即
在
时单调递减,因为
,
,
所以存在,使
,即
.且
在
单调递增,在
单调递减,
所以,
,
令,上述函数变形为
,
,
在
单调递增,
所以,即
,故
也即
成立.

练习册系列答案
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【题目】某市为了了解该市教师年龄分布情况,对年龄在内的5000名教师进行了抽样统计,根据分层抽样的结果,统计员制作了如下的统计表格:
年龄区间 | ||||
教师人数 | 2000 | 1300 | ||
样本人数 | 130 |
由于不小心,表格中部分数据被污染,看不清了,统计员只记得年龄在的样本人数比年龄在
的样本人数多10,根据以上信息回答下列问题:
(1)求该市年龄在的教师人数;
(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图,并求该市教师年龄的平均数及方差
(同一组的数据用该组区间的中点值作代表).