Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²＝4x相交于不同的A、B两点．

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；

(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1代入抛物线y²＝4x，消去x得y²－4ty－4＝0，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)则y₁＋y₂＝4t，y₁y₂＝－4∴·＝x₁x₂＋y₁y₂＝(ty₁＋1)(ty₂＋1)＋y₁y₂＝t²y₁y₂＋t(y₁＋y₂)＋1＋y₁y₂＝－4t²＋4t²＋1－4＝－3. （5分）

(2)设l： x＝ty＋b代入抛物线y²＝4x，消去x得y²－4ty－4b＝0设A(x₁，y₁)，

B(x₂，y₂)，则y₁＋y₂＝4t，y₁y₂＝－4b∴·＝x₁x₂＋y₁y₂＝(ty₁＋b)(ty₂＋b)＋y₁y₂

＝t²y₁y₂＋bt(y₁＋y₂)＋b²＋y₁y₂＝－4bt²＋4bt²＋b²－4b＝b²－4b.

令b²－4b＝－4，∴b²－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．