Question

【题目】如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2的菱形，AC⊥CB，BC=1．

（1）证明：AC1⊥平面A1BC；
（2）求三棱锥B﹣A1B1C的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵A1D⊥平面ABC，1D平面A1ACC1，

∴平面1ACC1⊥平面ABC，∵平面A1ACC1∩平面ABC=AC，CA⊥CB，CB平面ABC，

∴BC⊥平面A1ACC1，∵AC1平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

∵侧面A1ACC1为菱形，∴A1C⊥AC1，

又∵A1C平面A1BC，BC平面A1BC，A1C∩BC=C，

∴AC1⊥平面A1BC，

（2）解：∵AD=1，A1A=2，∴A1D= ．

∴ =S△ABCA1D= = ．

= = S△ABCA1D= ，

∴ = ﹣ ﹣ = ．

【解析】（1）由A1D⊥平面ABC得平面1ACC1⊥平面ABC，于是BC⊥平面A1ACC1 ， 推出BC⊥AC1 ， 由菱形的性质可知A1C⊥AC1 ， 于是AC1⊥平面A1BC．（2）三棱锥B﹣A1B1C的体积等于三棱柱的体积减去两个棱锥的体积．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．