题目内容

对于函数f(x)，若存在xo∈R，使f(xo)＝xo成立，则xo为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．

(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；

(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求 a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．

 

答案：
提示：

命题意图：本题主要考查二次函数及其图象、一元二次方程和直线方程以及不等式的综合应用，考查学生的自学能力和逻辑思维能力．

解题思路：扣住“不动点”的定义，建立相应的方程求解．

(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3．

由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3．

故当a＝1，b＝－2时，f(x)的两个不动点为－1，3．

(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)恒有两个不动点，

cx＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)，

即ax2＋bx＋(b－1)＝0恒有两个相异的实数根，得

△＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．

于是△’＝(4a)2－16a<0．解得0<a<1．

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围是0<a<1．

(3)由题意，A、B两点应在直线y＝x上，设A(x1，y1)、B(x2，y2)．

∵点A、B关于直线y＝kx＋对称，∴k＝－1．

设AB的中点为M(x’，y’)．

∵x1、x2是方程ax2＋bx＋b－1＝0的两个根，

于是，由M在直线y＝－x＋上，得－

即b＝－＝a>0,∴2a＋当且仅当2a＝，即a＝∈(0，1)时取等号．

故b≥－,得b的最小值为－．

评点：本题借助不变量思想，以不动点作为栽体命题，蕴含着“及时定义，及时解答”的试题结构特征，新颖而富于思考．将图象问题转化为代数问题来研究，充分体现了数形结合的思想方法．

 


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（1）布林函数的等域区间是         .

（2）若函数是布林函数，则实数k的取值范围是           .

 

(本小题满分6分）对于函数f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋bx-b有不动点(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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