题目内容
已知是公差为的等差数列,是公比为的等比数列.
(Ⅰ)若 ,是否存在,有?请说明理由;
(Ⅱ)若(为常数,且),对任意,存在,有,试求满足的充要条件;
(Ⅲ)若,试确定所有的,使数列中存在某个连续项的和为数列中的某一项,请证明.
(Ⅰ)若 ,是否存在,有?请说明理由;
(Ⅱ)若(为常数,且),对任意,存在,有,试求满足的充要条件;
(Ⅲ)若,试确定所有的,使数列中存在某个连续项的和为数列中的某一项,请证明.
(1)不存在、,使等式成立。(2)、满足的充要条件是,其中是大于等于的整数 (3)见解析
(1)把代入整理得的关系,分析均为整数时,等式不成立,可得结论;(2)从特殊入手,先找到与 的关系,再对一般的给出证明;(3)由等比数列的求和公式求出数列中存在某个连续项的和,令,分析为奇数与偶数,利用二项式定理整理得到为奇数时满足条件
(1)由得,整理后,可得 、,为整数不存在、,使等式成立。………………4分
(2)当时,则,即,其中是大于等于的整数反之当时,其中是大于等于的整数,则,
显然,其中
、满足的充要条件是,其中是大于等于的整数……………………9分
(3)设,即,
整理得
当为偶数时,式左边为4的倍数,右边仅为2的倍数,故当为偶数时,结论不成立。
当时,符合题意。当,为奇数时,
由,得
当为奇数时,此时,一定有和使上式一定成立。当为奇数时,命题都成立。
另解:设 ,
由为奇数,为大于等于3的奇数。
当为偶数时,式左边==偶数,式右边==奇数,此时矛盾;
当为奇数时,式左边==奇数,所以存在满足条件的,使得
成立。
综上所述,为奇数时,满足条件
(1)由得,整理后,可得 、,为整数不存在、,使等式成立。………………4分
(2)当时,则,即,其中是大于等于的整数反之当时,其中是大于等于的整数,则,
显然,其中
、满足的充要条件是,其中是大于等于的整数……………………9分
(3)设,即,
整理得
当为偶数时,式左边为4的倍数,右边仅为2的倍数,故当为偶数时,结论不成立。
当时,符合题意。当,为奇数时,
由,得
当为奇数时,此时,一定有和使上式一定成立。当为奇数时,命题都成立。
另解:设 ,
由为奇数,为大于等于3的奇数。
当为偶数时,式左边==偶数,式右边==奇数,此时矛盾;
当为奇数时,式左边==奇数,所以存在满足条件的,使得
成立。
综上所述,为奇数时,满足条件
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