题目内容
【题目】如图,在平面四边形中,
等边三角形,
,以
为折痕将
折起,使得平面
平面
.
(1)设为
的中点,求证:
平面
;
(2)若与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)推导出平面
,从而
,再求出
,由此能证明
平面
.
(2)由平面
,知
即为
与平面
所成角,从而在直角
中,
,以
为坐标原点,分别以
,
所在的方向作为
轴、
轴的正方向,建立空间直角坐标系
.利用向量法能求出二面角
的余弦值.
证明:(1)因为平面平面
,
平面平面
,
平面
,
,
所以平面
.
又平面
,所以
.
在等边中,因为
为
的中点,所以
.
因为,
,
,
所以平面
.
(2)解:由(1)知平面
,所以
即为
与平面
所成角,
于是在直角中,
.
以为坐标原点,分别以
,
所在的方向作为
轴、
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设等边的边长为
,
则,
,
,
,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
令,则
,
,于是
.
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
解得,令
,则
,于是
.
所以.
由题意知二面角为锐角,所以二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】改革开放以来,伴随着我国经济持续增长,户均家庭教育投入户均家庭教育投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和
也在不断提高
我国某地区2012年至2018年户均家庭教育投入
单位:千元
的数据如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
户均家庭教育投入y |
求y关于t的线性回归方程;
利用
中的回归方程,分析2012年至2018年该地区户均家庭教育投入的变化情况,并预测2019年该地区户均家庭教育投入是多少.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,
.
【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?