题目内容
【题目】在三棱锥
中，
是正三角形，面
面
，
，
，
、
分别是
、
的中点．
（1）证明：
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中点
，连接
、
，由等腰三角形三线合一的性质得出
且
，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出
面
，从而得出
；
（2）利用面面垂直的性质定理证明出
平面
，以为坐标原点，分别以
、、所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角
的余弦值．
（1）取的中点，连接、，
，
，
且．
又
，
面，又
面，
；
（2）由面
面，平面
平面
，
，
平面
，可得面.
故以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，
建立如图所示空间直角坐标系：则
，
，
，
，
.
，
，设
为平面EFC的一个法向量
由
，取
，则
，
． 
.
又
为面的一个法向量，由
如图知二面角的余弦值为.
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