题目内容

(2013•淄博二模)已知抛物线y2=4x的焦点为F2,点F1与F2关于坐标原点对称,直线m垂直于x轴(垂足为T),与抛物线交于不同的两点P、Q且
F1P
F2Q
=-5

(I)求点T的横坐标x0
(II)若以F1,F2为焦点的椭圆C过点(1,
2
2
)

①求椭圆C的标准方程;
②过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点,设
F2A
F2B
,若λ∈[-2,-1],求|
TA
+
TB
|
的取值范围.
分析:(Ⅰ)由题意得到F1和F2的坐标,设出P,Q的坐标,然后直接利用
F1P
F2Q
=-5
进行求解;
(Ⅱ)①设出椭圆标准方程,利用椭圆过点(1,
2
2
)
,结合a2=b2+1 即可求得a2,b2的值,则椭圆方程可求;
②当直线斜率不存在时,直接求解A,B的坐标得到|
TA
+
TB
|
的值,当直线斜率存在时,设出直线方程,和椭圆方程联立后,利用
F2A
F2B
,消掉点的坐标得到λ与k的关系,根据λ的范围求k的范围,然后把|
TA
+
TB
|
转化为含有k的函数式,最后利用基本不等式求出|
TA
+
TB
|
的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)如图,

由题意得F2(1,0),F1(-1,0),设P(x0,y0),则Q(x0,-y0),
F1P
=(x0+1,y0)
F2Q
=(x0-1,-y0)

F1P
F2Q
=-5

x02-1-y02=-5,即x02-y02=-4  ①
又P(x0,y0)在抛物线上,则y02=4x0  ②
联立①、②得,x02-4x0+4=0,解得:x0=2.
所以点T的横坐标x0=2.
(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为c,由题意得c=1,
设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

因椭圆C过点(1,
2
2
)

1
a2
+
1
2
b2
=1
  ③
又a2=b2+1  ④
将④代入③,解得b2=1或b2=-
1
2
(舍去)
所以a2=b2+1=2.
故椭圆C的标准方程为
x2
2
+y2=1

(ⅱ)1)当直线l的斜率不存在时,即λ=-1时,A(1,
2
2
)
B(1,-
2
2
)

又T(2,0),所以|
TA
+
TB
|=|(-1,
2
2
)+(-1,-
2
2
)|=2

2)当直线l的斜率存在时,即λ∈[-2,-1)时,设直线l的方程为y=k(x-1).
y=kx-k
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),显然y1≠0,y2≠0,则由根与系数的关系,
可得:x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2

y1+y2=k(x1+x2)-2k=
-2k
1+2k2
  ⑤
y1y2=k2(x1x2-(x1+x2)+1)=
-k2
1+2k2
  ⑥
因为
F2A
F2B
,所以
y1
y2
,且λ<0.
将⑤式平方除以⑥式得:λ+
1
λ
+2=
-4
1+2k2

由λ∈[-2,-1),得λ+
1
λ
∈[-
5
2
,-2)
,即λ+
1
λ
+2∈[-
1
2
,0)

-
1
2
-4
1+2k2
<0
,解得k2
7
2

因为
TA
=(x1-2,y1),
TB
=(x2-2,y2)
,所以
TA
+
TB
=(x1+x2-4,y1+y2)

x1+x2-4=
-4(1+k2)
1+2k2

|
TA
+
TB
|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=
16(1+k2)2
(1+2k2)2
+
4k2
(1+2k2)2

=
4(1+2k2)2+10(1+2k2)+2
(1+2k2)2
=4+
10
1+2k2
+
2
(1+2k2)2

t=
1
1+2k2
,因为k2
7
2
,所以0<
1
1+2k2
1
8
,即t∈(0,
1
8
]

所以|
TA
+
TB
|2=2t2+10t+4=2(t+
5
2
)2-
17
2
∈(4,
169
32
]

所以|
TA
+
TB
|∈(2,
13
2
8
]

综上所述:|
TA
+
TB
|∈[2,
13
2
8
]
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了平面向量数量积的运算,考查了分类讨论的数学解题思想,训练了利用基本不等式求最值,考查了学生的计算能力,是难度较大的题目.
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