题目内容
(本小题满分14分)已知各项均为正数的数列满足
,且
,其中
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前
项和为
,令
,其中
,试比较
与
的大小,并加以证明.
【答案】
(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)因为,即
………2分
又,所以有
,所以
…………3分
所以数列是公比为
的等比数列,由
得
,解得
……4分
故数列的通项公式为
…………5分
(Ⅱ)因,………6分, 所以
即数列是首项为
,公比是
的等比数列,所以
…………7分
则,又
………9分
当时,
当时,
,当
时,
猜想:(
)…………10分,下面用数学归纳法证明
①当时,
,上面不等式显然成立;………11分
②假设当时,不等式
成立…………12分
当时,
………13分
综上①②对任意的均有
又, 所以对任意的
均有
…………14分
证明二:(Ⅱ) 因,………6分, 所以
即数列是首项为
,公比是
的等比数列,所以
…………7分
则,又
………9分
当时,
………10分
因为………12分
∵,∴
………13分
,即对任意的
均有
………14分

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