题目内容

(本小题满分14分)已知各项均为正数的数列满足,且,其中.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设数列的前项和为,令,其中,试比较的大小,并加以证明.

 

【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)因为,即………2分

,所以有,所以…………3分

所以数列是公比为的等比数列,由,解得……4分

故数列的通项公式为…………5分

(Ⅱ)因,………6分, 所以

即数列是首项为,公比是的等比数列,所以…………7分

,又

………9分

时,

时,,当时,

猜想:)…………10分,下面用数学归纳法证明

①当时,,上面不等式显然成立;………11分

②假设当时,不等式成立…………12分

时,………13分

综上①②对任意的均有

, 所以对任意的均有…………14分

证明二:(Ⅱ) 因,………6分, 所以

即数列是首项为,公比是的等比数列,所以…………7分

,又

………9分

时,………10分

因为………12分

        ∵,∴………13分

 ,即对任意的均有………14分

 

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