题目内容
【题目】(本小题满分14分)
设函数,其中
.
( I )若函数图象恒过定点P,且点P在
的图象上,求m的值;
(Ⅱ)当时,设
,讨论
的单调性;
(Ⅲ)在(I)的条件下,设,曲线
上是否存在两点P、Q,
使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y轴上?如果存在,求a的取值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】( I );(Ⅱ)当m≥0时,
在(0,+∞)上为增函数;当m<0时,
在
上为增函数,在
上为减函数.(Ⅲ)存在,
.
【解析】
试题分析:解:(Ⅰ)令,则
,即函数
的图象恒过定点
则
(Ⅱ),定义域为
,
=
=
,则
当
时,
此时在
上单调递增,
当时,由
得
由得
,
此时在
上为增函数,
在为减函数,
综上当时,
在
上为增函数,
时,在
上为增函数,在
为减函数,
(Ⅲ)由条件(Ⅰ)知
假设曲线上存在两点
、
满足题意,则
、
两点只能在
轴两侧
设,则
是以
为直角顶点的直角三角形,
①
(1)当时,
此时方程①为,化简得
.
此方程无解,满足条件的、
两点不存在.
(2)当时,
,方程①为
即
设,则
显然当时
即
在
上为增函数,
的值域为
,即
,
综上所述,如果存在满意条件的、
,则
的取值范围是
.
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