题目内容
【题目】已知正方形ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,使△ACD为等边三角形,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为.
(1)证明:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上;
(2)求角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)过点作
平面
,垂足为
,连接
,
.证明
在
的垂直平分线上,则点
在平面
内的射影
在直线
上,
(2)以点为坐标原点,以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
点作平行于
的向量为
轴建立空间直角坐标系.设正方形
的边长为
,分别求出平面
与平面
的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得角
的正弦值.
(1)证明:过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,连接GC,GD.
因为△ACD为等边三角形,所以AC=AD,所以点G在CD的垂直平分线上.
又因为EF是CD的垂直平线,所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
另证:过点A作AG⊥EF,再证AG⊥CD,从而证得AG⊥平面BCDE,
即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
(2)解:以G为坐标原点,GA所在直线为z轴,GF所在直线为y轴,过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为2a,连接AF,
则 ,
,
所以
设平面的一个法向量为
,则
,
令,得
,又平面
的一个法向量
所以,
.
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