Question

（12分）如图，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB.

 D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点.

(１)求二面角B―A₁D―A的平面角余弦值；

(2)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.

Answer 1

解析：解法一：（1）分别延长AC，A₁D交于G. 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM

∵BC⊥平面ACC­₁A₁   ∴CM为BM在平面A₁C₁CA的内射影

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB为二面角B―A₁D―A的平面角

  平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

   ,  余弦值为   …………6分

（2）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD其位置为AC中点，证明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱柱 ， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F ，F为AC中点 ∴C₁F⊥A₁D   ∴EF⊥A₁D同理可证EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A₁BD

∵E为定点，平面A₁BD为定平面,点F唯一    …………12分

解法二：（1）∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱住   C₁C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点, 建立坐标系得

C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A­₁（0，2，2）

D（0，0，1）  E（1，0，2）            

   设平面A₁BD的法向量为n=(1,)

 

平面ACC₁A₁­的法向量为=（1，0，0）   

（2）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，当且仅当//

  

∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点