Question

【题目】已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数，F1 ， F2它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，则椭圆C1的离心率为（　　）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】设椭圆C1：（a＞b＞0），
双曲线C2：（m，n＞0），
由题意可得a2﹣b2=m2+n2=c2 ，
e1= ， e2= ， 由e1e2=1，可得am=c2 ，
设PF1=s，PF2=t，由余弦定理可得，
4c2=s2+t2﹣2st=s2+t2﹣st，
由椭圆的定义可得s+t=2a，
由双曲线的定义可得，s﹣t=2m，
可得s=a+m，t=a﹣m，
即有4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m），
即为4am=a2+3m2 ，
解得a=m（舍去）或a=3m，
c=m，
则e1== ．
故选：D．
设椭圆C1：（a＞b＞0），双曲线C2：（m，n＞0），由题意可得a2﹣b2=m2+n2=c2 ， 运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式，结合条件，化简整理，可得a=3m，c=m，由离心率公式可得．