题目内容
已知函数
(1)当时,试讨论函数的单调性;
(2)证明:对任意的 ,有.
(1)当时,试讨论函数的单调性;
(2)证明:对任意的 ,有.
(1)①时,在(0,1)是增函数,在是减函数;
②时,在(0,1),是增函数,在是减函数;
③时,在是增函数.
(2)见解析.
②时,在(0,1),是增函数,在是减函数;
③时,在是增函数.
(2)见解析.
试题分析:(1)求导数得到,而后根据两个驻点的大小比较,分以下三种情况讨论.
①时,在(0,1)是增函数,在是减函数;
②时,在(0,1),是增函数,在是减函数;
③时,在是增函数.
(2)注意到时,在是增函数
当时,有.从而得到:对任意的,有
通过构造,并放缩得到
利用裂项相消法求和,证得不等式。涉及数列问题,往往通过“放缩、求和”转化得到求证不等式.
试题解析:(1) 1分
①时,在(0,1)是增函数,在是减函数; 3分
②时,在(0,1),是增函数,在是减函数; 5分
③时,在是增函数. 6分
(2)由(1)知时,在是增函数
当时,.
对任意的,有
8分
10分
所以
12分
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