题目内容

已知函数
(1)当时,试讨论函数的单调性;
(2)证明:对任意的 ,有.
(1)①时,在(0,1)是增函数,在是减函数;
时,在(0,1),是增函数,在是减函数;
时,是增函数.
(2)见解析.

试题分析:(1)求导数得到,而后根据两个驻点的大小比较,分以下三种情况讨论.
时,在(0,1)是增函数,在是减函数;
时,在(0,1),是增函数,在是减函数;
时,是增函数.
(2)注意到时,是增函数
时,有.从而得到:对任意的,有
通过构造,并放缩得到
利用裂项相消法求和,证得不等式。涉及数列问题,往往通过“放缩、求和”转化得到求证不等式.
试题解析:(1)      1分
时,在(0,1)是增函数,在是减函数;        3分
时,在(0,1),是增函数,在是减函数;      5分
时,是增函数.      6分
(2)由(1)知时,是增函数
时,.
对任意的,有
                  8分
                  10分
所以
                     12分
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