Question

8．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）判断f（x）在（0，1）与[1，+∞）上的单调性，并用定义证明．
（Ⅱ）求f（x）在（$\frac{1}{2}$，3）上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数单调性的定义证明即可；（Ⅱ）先求出函数的单调区间，从而求出函数的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的单调递减，
理由如下：设0＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=（m+$\frac{1}{m}$）-（n+$\frac{1}{n}$）
=（m-n）-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{m}$）=（m-n）•$\frac{mn-1}{mn}$，
由于0＜m＜n＜1，则m-n＜0，mn＜1，即mn-1＜0，
则f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
则有f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的单调递减；
同理可证f（x）在[1，+∞）内是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，3）递增，
而f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，f（1）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{10}{3}$，
∴函数的值域是[$\frac{3}{2}$，$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查了函数的单调性定义的应用，考查函数的值域问题，是一道基础题．