Question

已知函数f（x）的图象过点（0，1），且与函数g(x)=2

1

2

x-1-a-1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）若三个正数m、n、t依次成等比数列，证明f（m）+f（t）≥2f（n）．

Answer 1

分析：（1）利用轴对称来解，先在y=f（x）的图象上取点P（x，y），设P点关于直线y=x-1对称的点为Q（m，n），根据一垂直二平分，表示出m，n再代入f（x）即可．
（2）由三个正数m、n、t依次成等比数列得到n²=mt≥n2+2

mt

+1=（n+1）²，再将f（m）+f（t）≥2f（n）．通过函数值转化证明．

解答：（1）解：在y=f（x）的图象上取点P（x，y），
设P点关于直线y=x-1对称的点为Q（m，n），
则

y-n x-m =-1 y+n 2 = x+m 2 -1

?

m=y+1 n=x-1.

∵Q在y=g（x）的图象上，
∴x-1=2

y+1

2

 -1-a-1?y=2log₂（x+a）+1．
∵y=f（x）的图象过点（0，1），
∴1=2log₂a+1?a=1．
故f（x）=2log₂（x+1）+1，定义域为（-1，+∞）．
（2）证明：∵n²=mt?（m+1）（t+1）
=mt+m+t+1
≥n2+2

mt

+1
=（n+1）²，
∴f（m）+f（t）
=2log₂（m+1）+1+2log₂（t+1）+1
=2log₂（m+1）（t+1）+2
≥2log₂（n+1）²+2
=2[2log₂（n+1）+1=2f（n）．

点评：本题主要考查函数图象的对称性求解析式，等比数列中项公式及放缩法证明不等式等问题．