题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；
（2）若
在
上有解，求
的取值范围；
（3）设
是函数的导函数，
是函数的导函数，若函数的零点为
，则点
恰好就是该函数的对称中心.试求
的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得方程，
（2）先化简不等式，再利用参变分离法将二次不等式有解问题转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值求结果，
（3）根据对称中心性质得
，再利用对称性求和.
解：（1）因为
所以所求切线的斜率
又因为切点为
所以所求的切线方程为
（2）因为
，所以
因为在
上有解，
所以
不小于
在区间
上的最小值.
因为时，
，
所以的取值范围是.
（3）因为
，所以
.
令
可得
，
所以函数
的对称中心为
，
即如果
，则，
所以
.
【题目】眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【题目】某控制器中有一个易损部件，该部件由两个电子元件按图1方式连接而成.已知这两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布
，且各个元件能否正常工作相互独立.（一个月按30天算）
（1）求该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率；
（2）为了保证该控制器能稳定工作，将若干个同样的部件按图2连接在一起组成集成块.每一个部件是否能正常工作相互独立.某开发商准备大批量生产该集成块，在投入生产前，进行了市场调查，结果如下表：
集成块类型 |
| 成本 | 销售金额 |
Ⅰ |
|
|
|
Ⅱ |
|
|
|
Ⅲ |
|
|
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其中
是集成块使用寿命达到一个月及以上的概率，
为集成块使用的部件个数.报据市场调查，试分析集成块使用的部件个数为多少时，开发商所得利润最大？并说明理由.
