题目内容

设定义在R上的函数f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,a0,a1,a2,a3,a4∈R,当x=-1时，f(x)取得极大值，且函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称.

(1)求f(x)的表达式;

(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在［,］上?如果存在,求出这两点的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)设xn=,ym=(m,n∈N*),求证:|f(xn)-f(ym)|＜.

解:(1)将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位,得到y=f(x)的图象,

所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即y=f(x)是奇函数.

所以f(x)=a1x3+a3x.由题意，得

所以f(x)=x3-x.

(2)由(1)得f′(x)=x2-1,

假设存在两切点为(x1,f(x1)),(x2,f(x2))(x1,x2∈［,］),

则f′(x1)·f′(x2)=(x12-1)(x22-1)=-1.

因为(x12-1)、(x22-1)∈［-1,1］,

所以或即或

从而可得所求两点的坐标分别为(0,0),(,)或(0,0),(-,).

(3)证明：因为当x∈［,1)时,f′(x)＜0,所以f(x)在［,1)上单调递减.

由已知得xn∈［,1),所以f(xn)∈(f(1),f()］,即f(xn)∈(,］.

注意到x＜-1时，f′(x)＞0,－1＜x＜1时，f′(x)＜0,

故f(x)在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减.

由于ym=,所以ym∈(,］.因为＜-1＜,

所以f(ym)∈(f(-2),f(-1)］,即f(ym)∈(,］，

所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜-(-)=.


练习册系列答案
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+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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