Question

【题目】设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在 上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a
①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数
②当a＞0时，f（x）在 上递增，在 单调递减
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在 上单调递增，在[0，1]上单调递减
又
∴
∴当 时，方程f（x）=t有两解
（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证：
设 ，则
由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减
∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．
【解析】（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0，求函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在 上单调递增，在[0，1]上单调递减可得解（Ⅲ）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．