题目内容

已知椭圆C的两个焦点分别为,且点在椭圆C上,又.
(1)求焦点F2的轨迹的方程;
(2)若直线与曲线交于M、N两点,以MN为直径的圆经过原点,求实数b的取值范围.

(1)(2)

解析试题分析:(1)因为点在椭圆上,由椭圆定义知
 恰好符合双曲线的定义.动点 在以 为焦点的双曲线上;
(2)由(1)得曲线的方程 ,设 ,联立方程组 
消去得方程有两个正根.由韦达定理可建立 的关系
另外,由 将由韦达定理得到的关系式代入其中可得关于关系式,再结合即可求得 的取值范围.
试题解析:(1) 

故轨迹 为以  为焦点的双曲线的右支
设其方程为: 
 
故轨迹方程为.                               (6分)
(2)由
方程有两个正根.

,由条件知.



整理得,即
由(1)知,即显然成立.
由(2)、(3)知
.

.
的取值范围为               (12分)
考点:1、椭圆的定义;2、双曲线的定义和标准方程;3、直线与圆锥曲线的位置关系综合问题.

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