已知椭圆C的两个焦点分别为.且点在椭圆C上.又.(1)求焦点F2的轨迹的方程,(2)若直线与曲线交于M.N两点.以MN为直径的圆经过原点.求实数b的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆C的两个焦点分别为，且点在椭圆C上，又.
（1）求焦点F₂的轨迹的方程；
（2）若直线与曲线交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围.

（1）（2）

解析试题分析：（1）因为点在椭圆上，由椭圆定义知
恰好符合双曲线的定义.动点在以、为焦点的双曲线上；
（2）由（1）得曲线的方程 ,设 ,联立方程组
消去得方程有两个正根.由韦达定理可建立与的关系
另外，由将由韦达定理得到的关系式代入其中可得关于关系式，再结合即可求得的取值范围.
试题解析：（1）

故轨迹为以、  为焦点的双曲线的右支
设其方程为：

故轨迹方程为.                               （6分）
（2）由
方程有两个正根.

设，由条件知.
而

即
整理得，即
由（1）知，即显然成立.
由（2）、（3）知
而.

.
故的取值范围为               （12分）
考点：1、椭圆的定义；2、双曲线的定义和标准方程；3、直线与圆锥曲线的位置关系综合问题.

练习册系列答案

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（1）求椭圆C的方程；
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（1）求椭圆的方程；
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