题目内容
【题目】已知
，
.
（1）若
恒成立.求
的最大值
；
（2）若
，取（1）中的，当
时，证明：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【解析】
（1）根据函数奇偶性可知
为偶函数，根据
时，
恒成立可将问题转化为
时，
，恒成立，求
；利用导数，分别在
和
两种情况下得到函数单调性，进而确定
的范围，从而得到最大值；
（2）将所证不等式转化为证明当
，
，根据余弦函数和二次函数单调性可分别求得不等号左右两侧函数的最大值和最小值，由此可证得不等式成立，从而得到结论.
（1）
，
为偶函数，
当时，恒成立，
故题意可为：，，若恒成立，求的最大值.
，
，
①若，则
恒成立，
在
单调递增，
又
，有
，，故在单调递增，
又
，有恒成立，此时的最大值
.
②若，则存在最小的正数
，使
成立，此时
，
当
时，
，在
单调递减，
又，有
，，故在单调递减，
又，有
，，故，不恒成立，
即无最大值.
综合①②可知，满足题意的最大值.
（2）由（1）知，
，证明：
，
即证：
，，
，，
由
，
恒成立，有
，
即证：
，，
，，（*）
当时，
的最大值为
，
当时，
的最小值为
，
故（*）式恒成立，即证得恒成立.
【题目】为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各
次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：
（1）①设所采集的
个连续正常运行时间的中位数
，并将连续正常运行时间超过和不超过的次数填入下面的列联表：
超过 | 不超过 | |
改造前 |
|
|
改造后 |
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②根据①中的列联表，能否有
的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？
附：
.
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（2）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为
天（即从开工运行到第
天
进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为
万元/次；保障维护费第一次为
万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产线一个生产周期（以
天计）内的维护方案：
，
、
、
、
.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.
