题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
的极小值;
(Ⅱ)设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
:
,当
时,若
在
内恒成立,则称
为函数
的“转点”.当
时,试问函数
是否存在“转点”?若存在,求出转点的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,函数
取到极大值为
,当
时,函数
取到极小值为-2.
(2)函数存在“转点”,且2是“转点”的横坐标.
【解析】试题分析:(1)先求导,令导数大于0得增区间,令导数小于0得减区间,根据单调性求最值. (2)求导,根据导数的几何意义得点处切线的斜率,根据点斜式得切线方程,从而可得
的解析式,因为
是函数
图像和切线的交点,则
.将函数
求导,用导数求其单调性,讨论
的取值范围判断
是否恒成立.
试题解析:解:(1)当时,
当,当
,
所以函数在
和
单调递增,在
单调递减,
所以当时,函数
取到极大值为
,
当时,函数
取到极小值为-2. 6分
(2)当时,函数
在其图像上一点
处的切线方程为
8分
设
且
当时,
在
上单调递减,
所以当时,
;
当时,
在
上单调递减,
所以当时,
;
所以在
不存在“转点” 11分
当时,
,即
在
上是增函数.
当时,
当
时,
即点
为“转点”.
故函数存在“转点”,且2是“转点”的横坐标. 12分
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