Question

8．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D是AB的中点，F是BC上一点，AF交CD于点E，且CE=DE，∠BCD=30°，现将△ACD沿CD折起，折成钝二面角A-CD-B．
（1）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（2）当AC⊥BD时，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面AEF⊥平面CBD；
（2）当AC⊥BD时，求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角A-CD-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵AC⊥BC，D是AB的中点，
∴CD=DB，
∵∠BCD=30°，∴∠B=∠BCD=30°，AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AC=AD，
∴△ACD为等腰三角形，CE=DE，
∴AE⊥CD，EF⊥CD，
∴CD⊥面BCD，
∴面AEF⊥面BCD．
（2）由（1）知，AE⊥CD，EF⊥CD，
则∠AEF 就是二面角A-CD-B的平面角，
设AC=1，则BC=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CE=$\frac{1}{2}$，CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∵AC⊥BD，∴$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}）^{2}$=|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{CD}$|²+|$\overrightarrow{DB}$|²+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{DB}$=1+1+1=3，
∴AB=$\sqrt{3}$，
在△ABC中，cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{1+3-3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
在△ACF中，AF²=AC²+CF²-2AC•CFcos∠ACB=1，
∴AF=1，
在△AEF中，cos∠AEF=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{12}-1}{2•\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{6}}$=$-\frac{1}{3}$，
即二面角A-CD-B的余弦值为$-\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用二面角的定义求出二面角的平面角是解决本题的关键．