题目内容
已知函数
.其中
.
(1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;
(2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数
的值;
(3)当
<0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为
,若
,求
的取值范围.


(1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;
(2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数

(3)当




(1)
;(2)2; (3)


试题分析:(1)因为曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,所以分别对这两个函数求导,可得导函数在x=1处的斜率相等,即可求出

(2) 由f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,所以构造一个新的函数,在x>0时求出函数的最值符合条件即可得到

(3)根据(2)所得的结论当当




试题解析:(1)


曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x-y-2=0,
曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0.两直线间的距离为

(2)令h(x)=f(x)-g(x)+1, ,则

当


当


当




所以h(x)在上是增函数,在上是减函数,
∴h(x)≤

因为h(1)=0,又当




(3)当


不妨设0<x1≤x2,则|h(x1)-h(x2)|=h(x1)-h(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|h(x1)-h(x2)|≥|x1-x2|
等价于h(x1)-h(x2)≥x2-x1,即h(x1)+x1≥h(x2)+x2,令H(x)=h(x)+x=

∵




∴a≤-,又a<0,∴a的取值范围是


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