题目内容
已知函数
;
(1)若
>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为
,求
的值;
(3)若f(x)<x2在(1,
上恒成立,求a的取值范围.

(1)若

(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为


(3)若f(x)<x2在(1,

(1)单调递增函数;(2)
;(3)


试题分析:(1)首先确定函数的定义域是





(2)由于








(3)由于




令


试题解析:.解:(1)由题意f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=

∵a>0,
∴f'(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数 …(4分)
(2)由(1)可知,f′(x)=

(1)若a≥﹣1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴[f(x)]m1n=f(1)=﹣a=

∴a=﹣

(2)若a≤﹣e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴[f(x)]m1n=f(e)=1﹣

(3)若﹣e<a<﹣1,令f'(x)=0得x=﹣a,当1<x<﹣a时,f'(x)<0,
∴f(x)在(1,﹣a)上为减函数,f(x)在(﹣a,e)上为增函数,
∴[f(x)]m1n=f(﹣a)=ln(﹣a)+1=

∴[f(x)]m1n=f(﹣a)=ln(﹣a)+1=

∴a=﹣

(3)

又

令







即



所以,当



所以


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