题目内容

18.设AB为圆O的直径,AB=10.E为线段AO上一点,OE=$\frac{1}{7}$AB.过E作一直线交圆O于C,D两点,使得∠CEA=45°.试求CE2+ED2的值.

分析 利用垂径定理,求出CD,再利用相交弦定理,即可求CE2+ED2的值.

解答 解:∵AB=10,OE=$\frac{1}{7}$AB.作OH⊥CD于H,则OH=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$OE,
CD=2$\sqrt{O{C^2}-O{H^2}}$=$\sqrt{A{B^2}-\frac{2}{49}A{B^2}}$=$\frac{{\sqrt{47}}}{7}$AB…(5分)
由相交弦定理知CE•ED=AE•EB=($\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{7}$AB)($\frac{1}{2}$AB+$\frac{1}{7}$AB)=$\frac{45}{196}$AB2
∴CE2+ED2=(CE+ED)2-2CE•ED=$\frac{47}{49}$AB2-$\frac{45}{98}$AB2=$\frac{1}{2}$AB2=50…(10分)

点评 本题考查垂径定理、相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.

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