题目内容

11.已知x2=a2+b2,y2=c2+d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac+bd.

分析 将x=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$,y=$\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}}$代入不等式展开,根据基本不等式的性质证明即可.

解答 证明:∵x2=a2+b2,y2=c2+d2,且所有字母均为正,
∴xy=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$•$\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}}$
=$\sqrt{{{a}^{2}c}^{2}{{+b}^{2}c}^{2}{{+a}^{2}d}^{2}{{+b}^{2}d}^{2}}$
≥$\sqrt{{{a}^{2}c}^{2}+2abcd{{+b}^{2}d}^{2}}$
=$\sqrt{{(ac+bd)}^{2}}$
=ac+bd.

点评 本题考查了基本不等式的性质,是一道基础题.

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