题目内容

6.命题p:函数f(x)=lg(ax2-2ax+1)的定义域为R,命题q:不等式$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx+$\frac{1}{4}$cosx-a≥0的解集为∅,若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围.

分析 分别求出使命题p和命题q成立的实数a的取值范围,再根据p∨q为真,p∧q为假,得到p真q假和p假q真两种情况,求出每种情况下的a的取值范围并求并集即可得到答案.

解答 解:∵函数f(x)=lg(ax2-2ax+1)的定义域为R
∴ax2-2ax+1>0恒成立…(2分)
∴a=0或$\left\{\begin{array}{l}a>0\\△<0\end{array}\right.$ …(4分)
解得0≤a<1   …(5分)
又∵不等式$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx+$\frac{1}{4}$cosx-a=$\frac{1}{2}$sin(x+$\frac{π}{6}$)-a≥0的解集为∅,
∴a>$\frac{1}{2}$ …(8分)
若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题
则p,q一真一假,
所以0≤a≤$\frac{1}{2}$或a≥1…(13分)

点评 考查对数函数的图象和性质,一元二次不等式解的情况和判别式△的关系,正弦型函数的图象和性质,以及p∨q,p∧q的真假和p,q真假的关系.

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