题目内容

(本题满分14分)如图, 在直三棱柱中,,

,点的中点.

⑴求证:

⑵求证:平面

⑶求二面角的正切值.

 

【答案】

⑴见解析;⑵见解析;⑶

【解析】本试题主要考查了立体几何中的线线垂直的证明,以及线面平行的判定和二面角的平面角的求解的综合运用。

(1)由于已知中三棱柱的性质和三角形可知,得到结论。

(2)利用线线平行来判定得到线面平行的证明。

(3)由于二面角的平面角可以建立空间直角坐标系,求解平面的法向量来表示夹角得到二面角 平面角的求解。

证明:⑴、在直三棱柱

∵底面三边长,∴ ,………1分

又直三棱柱中,,且,

,∴.……………3分

,∴;…………………………4分

⑵、设的交点为,连结,…5分

的中点,的中点,∴ ,………7分

,∴.…8分

⑶、过点C作CF⊥AB于F,连接C1F.…………9分

由已知C1C垂直平面ABC,

则∠C1FC为二面角的平面角。………11分

在Rt△ABC中,,,则…………12分

,∴ ,……………13分

∴二面角的正切值为.…………………………14分

(另:可以建立空间直角坐标系用向量方法完成,酌情给分,过程略)

 

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