题目内容
(本题满分14分)如图, 在直三棱柱中,,,
,点是的中点.
⑴求证:;
⑵求证:平面;
⑶求二面角的正切值.
【答案】
⑴见解析;⑵见解析;⑶
【解析】本试题主要考查了立体几何中的线线垂直的证明,以及线面平行的判定和二面角的平面角的求解的综合运用。
(1)由于已知中三棱柱的性质和三角形可知,得到结论。
(2)利用线线平行来判定得到线面平行的证明。
(3)由于二面角的平面角可以建立空间直角坐标系,求解平面的法向量来表示夹角得到二面角 平面角的求解。
证明:⑴、在直三棱柱,
∵底面三边长,,,∴ ,………1分
又直三棱柱中,,且,
,∴.……………3分
而,∴;…………………………4分
⑵、设与的交点为,连结,…5分
∵ 是的中点,是的中点,∴ ,………7分
∵ ,,∴.…8分
⑶、过点C作CF⊥AB于F,连接C1F.…………9分
由已知C1C垂直平面ABC,
则∠C1FC为二面角的平面角。………11分
在Rt△ABC中,,,,则…………12分
又,∴ ,……………13分
∴二面角的正切值为.…………………………14分
(另:可以建立空间直角坐标系用向量方法完成,酌情给分,过程略)
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