题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若在
处取得极值,求
的值;
(2)设,试讨论函数
的单调性;
(3)当时,若存在正实数
满足
,求证:
.
【答案】(1).
(2)见解析.
(3)证明见解析.
【解析】
(1)先求导,再令
即得a的值,再验证.(2)先求导得
,再对a分类讨论得函数
的单调性.(3)先化简已知得到
,再令
,
,求得
的最小值为1,解不等式即得
.
(1)解:因为,所以
,
因为在
处取得极值,
所以,解得
.
验证:当时,
,
易得在
处取得极大值.
(2)解:因为,
所以.
①若,则当
时,
,所以函数
在
上单调递增;
当时,
,
函数
在
上单调递减.
②若,
,
当时,易得函数
在
和
上单调递增,
在上单调递减;
当时,
恒成立,所以函数
在
上单调递增;
当时,易得函数
在
和
上单调递增,
在上单调递减.
(3)证明:当时,
,
因为,
所以,
即,
所以.
令,
,
则,
当时,
,所以函数
在
上单调递减;
当时,
,所以函数
在
上单调递增.
所以函数在
时,取得最小值,最小值为
.
所以,
即,所以
或
.
因为为正实数,所以
.
当时,
,此时不存在
满足条件,
所以.
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