题目内容
【题目】如图，在梯形
中，
，
，
，四边形
为矩形，平面
平面，
.
(1)证明：
平面；
(2)设点
在线段
上运动，平面
与平面
所成锐二面角为
，求
的取值范围.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
(1)先证明
，结合面面垂直性质定理即可得到
平面
；
(2) 建立分别以直线
，
，
为
轴，
轴，
轴的如图所示的空间直角坐标系，
求出平面
与平面
的法向量，表示
，求函数的值域即可.
解：（1）证明：在梯形
中，因为
，
，
所以
，所以
，
所以
，所以.
因为平面
平面，平面
平面
，
因为
平面，所以平面.
（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，
令
，则
，
，
，
.
∴
，
.
设
为平面的一个法向量，
由
得
，取
，则
，
∵
是平面的一个法向量
∵
，∴当
有最小值
，当
时，有最大值
．
∴.
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