题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数在
内的单调性;
(Ⅱ)若存在正数,对于任意的
,不等式
恒成立,求正实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当时,
在
内单调递增,当
时,
在
内单调递减,在
内单调递增.(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求导数可得,
,根据
的取值情况进行讨论可得函数的单调性.(Ⅱ)在(Ⅰ)中结论的基础上分
和
两种情况讨论求解,首先探求得到区间
,通过对函数
在此区间上单调性的讨论进一步得到
的符号,进而将不等式
去掉绝对值后进行讨论分析、排除,然后得到所求的范围即可.
试题解析
(Ⅰ)由题意得,
,
因为,所以
.
当时,
,此时
在
内单调递增.
当时,由
得
,此时
单调递减;
由得
,此时
单调递增.
综上,当时,
在
内单调递增;
当时,
在
内单调递减,在
内单调递增.
(Ⅱ)①当时,
由(Ⅰ)可得在
内单调递增,且
,
所以对于任意的,
.
这时可化为
,即
.
设,
则,
令,得
,
所以在
单调递减,且
,
所以当时,
,不符合题意.
②当时,
由(Ⅰ)可得在
内单调递减,且
,
所以存在,使得对于任意的
都有
.
这时可化为
,即
.
设,则
.
(i)若,则
在
上恒成立,
这时在
内单调递减,且
,
所以对于任意的都有
,不符合题意.
(ii)若,令
,得
,
这时在
内单调递增,且
,
所以对于任意的,都有
,
此时取,则对于任意的
,不等式
恒成立.
综上可得的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某教育培训中心共有25名教师,他们全部在校外住宿.为完全起见,学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅,正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同,为了解教师们的乘车情况,王师傅连续记录了100次的乘车人数,统计结果如下:
乘车人数 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
频数 | 2 | 4 | 4 | 10 | 16 | 20 | 16 | 12 | 8 | 6 | 2 |
以这100次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率.
(Ⅰ)若随机抽查两次教师们的乘车情况,求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率;
(Ⅱ)有一次,王师傅的大客车出现了故障,于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的型车和22座的
型车两种,
型车一次租金为80元,
型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数,王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据,判断王师傅租哪种车较合算?