Question

【题目】如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠BCD=60°，P为AD1的中点，Q为BC的中点

（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求证：DQ⊥平面B1BCC1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过P作PM∥AD交D1D于M，连接MC，则M为D1D的中点，

∴PM∥AD，PM= AD，

∵AD∥BC，Q为BC的中点，

∴PM∥QC，PM=QC，

∴四边形PMCQ是平行四边形，

∴PQ∥MC，

∵PQ平面DCC1D1，MC平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1

（2）解：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，DQ平面ABCD，

∴B1B⊥DQ，

在菱形ABCD中，DC=BC，∠BCD=60°，∴△BCD为正三角形，故DB=DC，

∵Q为BC的中点，

∴DQ⊥BC，

∵B1B∩BC=B，

∴DQ⊥平面B1BCC1．

【解析】（1）过P作PM∥AD交D1D于M，连接MC，则M为D1D的中点，证明四边形PMCQ是平行四边形，可得PQ∥MC，即可证明PQ∥平面D1DCC1；（2）证明B1B⊥DQ，DQ⊥BC，利用线面垂直的判定定理证明：DQ⊥平面B1BCC1 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．