题目内容

已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a2+b2-c2）tanC=
3
ab．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=
3
，求2a-b的取值范围．
分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，结合已知等式，得到sinC的值，由三角形ABC为锐角三角形，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数；
（Ⅱ）利用正弦定理化简2a-b得到关系式，用A表示出B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由三角形ABC为锐角三角形，得到A的范围，确定出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出2a-b的范围即可．
解答：解：（Ⅰ）由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC，
结合（a2+b2-c2）tanC=
3
ab，可得2cosCtanC=2sinC=
3
，即sinC=
3
2
，
∵△ABC为锐角三角形，∴C=
π
3
；
（Ⅱ）由正弦定理得：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
3
3
2
=2，
∴2a-b=4sinA-2sinB，
∵B=
2π
3
-A，
∴2a-b=4sinA-2sin（
2π
3
-A）=3sinA-
3
cosA=2
3
sin（A-
π
6
），
∵△ABC为锐角三角形，
∴A∈（
π
6
，
π
2
），即A-
π
6
∈（0，
π
3
），
则2a-b的取值范围为（0，3）．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且(b2+c2-a2)tanA=
3
bc．
（1）求角A的大小；
（2）求sin(A+10°)•[1-
3
tan(A-10°)]的值．
已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a2+c2-b2）tanB=
3
ac，则角B为（　　）
已知函数f(x)=2sin(ωx-
π
6
)，(A＞0，ω＞0，x∈R)，且f（x）的最小正周期是2π．
（1）求ω及f（0）的值；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A、B、C，若f(A+
2π
3
)=
8
5
，f(B+
7π
6
)=-
30
17
，求sinC的值．
（2013•东莞一模）向量
a
=(
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx)，
b
=(1，y)，已知
a
∥
b
，且有函数y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的周期；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有f(A-
π
3
)=
3
，边BC=
7
，sinB=
21
7
，求AC的长及△ABC的面积．
（2011•崇明县二模）已知向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（1，
3
），设函数f（x）=
a
•
b

（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知锐角△ABC的三内角A、B、C所对的边是a、b、c，若有f（A-
π
3
）=
3
，a=
7
，sinB=
21
7
，求c边的长度．

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