题目内容
（2011•崇明县二模）已知向量
=（sinx，cosx），
=（1，
），设函数f（x）=
•
（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知锐角△ABC的三内角A、B、C所对的边是a、b、c，若有f（A-
）=
，a=
，sinB=
，求c边的长度．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知锐角△ABC的三内角A、B、C所对的边是a、b、c，若有f（A-
| π |
| 3 |
| 3 |
| 7 |
| ||
| 7 |
分析：（1）由f(x)=
•
=sinx+
cosx=2sin（x+
），结合正弦函数的性质可求函数的单调区间
（2）由f(A-
π)=
可求sinA=
，由正弦定理可得
=
可求b，而由sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA可求sinC，再由正弦定理
=
可求c
另解同上可得b=2 ）由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA可求c
| a |
| b |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由f(A-
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
另解同上可得b=2 ）由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA可求c
解答：解：（1）f(x)=
•
=sinx+
cosx=2sin（x+
）
单调增区间是[0，
] 单调减区间是[
，π]
（2）因f(A-
π)=
∴2sinA=
∴sinA=
由正弦定理可得
=
∴b=
=
=2
∵△ABC是锐角三角形，所以cosA=
，cosB=
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=
由正弦定理可得
=
即
=
∴c=3
另解
同上可得b=2 （同上）
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA
∴7=4+c2-2×2c×
∴c2-2c-3=0
∴c=3
| a |
| b |
| 3 |
| π |
| 3 |
单调增区间是[0，
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）因f(A-
| 1 |
| 3 |
| 3 |
∴2sinA=
| 3 |
| ||
| 2 |
由正弦定理可得
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
∴b=
| asinB |
| sinA |
| ||||||
|
∵△ABC是锐角三角形，所以cosA=
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 7 |
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=
3
| ||
| 14 |
由正弦定理可得
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
即
| ||||
|
| c | ||||
|
∴c=3
另解
同上可得b=2 （同上）
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA
∴7=4+c2-2×2c×
| 1 |
| 2 |
∴c2-2c-3=0
∴c=3
点评：本题主要考查了正弦定理与余弦定理及三角形的内角和定理、两角和的三角公式、同角平分关系等三角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的公式并能灵活应用，属于综合性试题
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