题目内容
已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=
x+b没有交点,求b的取值范围;
(3)设h(x)=log9(a•3x-
a),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=
1 |
2 |
(3)设h(x)=log9(a•3x-
4 |
3 |
(1)因为y=f(x)为偶函数,所以?x∈R,f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx对于?x∈R恒成立.
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9
-log9(9x+1)=-x恒成立
即(2k+1)x=0恒成立,
而x不恒为零,所以k=-
.
(2)由题意知方程log9(9x+1)-
x=
x+b即方程log9(9x+1)-x=b无解.
令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.
因为g(x)=log9
=log9(1+
)
任取x1、x2∈R,且x1<x2,则0<9x1<9x2,从而
>
.
于是log9(1+
)>log9(1+
),即g(x1)>g(x2),
所以g(x)在(-∞,+∞)是单调减函数.
因为1+
>1,所以g(x)=log9(1+
)>0.所以b的取值范围是(-∞,0].
(3)由题意知方程3x+
=a•3x-
a有且只有一个实数根.
令3x=t>0,则关于t的方程(a-1)t2-
at-1=0(记为(*))有且只有一个正根.
若a=1,则t=-
,不合,舍去;
若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根.
由△=0⇒a=
或-3;但a=
⇒t=-
,不合,舍去;而a=-3⇒t=
;
方程(*)的两根异号?(a-1)•(-1)<0,即-a+1<0,解得:a>1.
综上所述,实数a的取值范围{-3}∪(1,+∞).
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx对于?x∈R恒成立.
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9
9x+1 |
9x |
即(2k+1)x=0恒成立,
而x不恒为零,所以k=-
1 |
2 |
(2)由题意知方程log9(9x+1)-
1 |
2 |
1 |
2 |
令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.
因为g(x)=log9
9x+1 |
9x |
1 |
9x |
任取x1、x2∈R,且x1<x2,则0<9x1<9x2,从而
1 |
9x1 |
1 |
9x2 |
于是log9(1+
1 |
9x1 |
1 |
9x2 |
所以g(x)在(-∞,+∞)是单调减函数.
因为1+
1 |
9x |
1 |
9x |
(3)由题意知方程3x+
1 |
3x |
4 |
3 |
令3x=t>0,则关于t的方程(a-1)t2-
4 |
3 |
若a=1,则t=-
3 |
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若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根.
由△=0⇒a=
3 |
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3 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
方程(*)的两根异号?(a-1)•(-1)<0,即-a+1<0,解得:a>1.
综上所述,实数a的取值范围{-3}∪(1,+∞).
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