题目内容

在空间直角坐标系O-xyz中，
OP
=x
i
+y
j
+z
k
（其中
i
，
j
，
k
分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量）．有下列命题：
①若
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x＞0，y＞0)且|
OP
-4
j
|=|
OP
+2
i
|，则
1
x
+
2
y
的最小值为2
2

②若
OP
=0
i
+y
j
+z
k
，
OQ
=0
i
+y1
j
+
k
，若向量
PQ
与
k
共线且|
PQ
|=|
OP
|，则动点P的轨迹是抛物线；
③若
OM
=a
i
+0
j
+0
k
，
OQ
=0
i
+b
j
+0
k
，
OR
=0
i
+0
j
+c
k
(abc≠0)，则平面MQR内的任意一点A（x，y，z）的坐标必须满足关系式
x
a
+
y
b
+
z
c
=1；
④设
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x∈[0，4]，y∈[-4，4])，
OM
=0
i
+y1
j
+
k
(y1∈[-4，4])，
ON
=x2
i
+0
j
+0
k
(x2∈[0，4])，若向量
PM
⊥
j
，
PN
与
j
共线且|
PM
|=|
PN
|，则动点P的轨迹是双曲线的一部分．
其中你认为正确的所有命题的序号为
②③④
②③④
．
分析：命题①利用|
OP
-4
j
|=|
OP
+2
i
|得到两个正数x，y的关系
x
3
+
2y
3
=1，求
1
x
+
2
y
的最小值时只要把“1”代入展开后利用基本不等式求最值；
命题②由已知求出向量
PQ
，由
PQ
与
k
共线且|
PQ
|=|
OP
|列式得到动点P的轨迹；
命题③利用M在平面MQR中，由共面向量基本定理得到
OA
=λ
OM
+μ
OQ
+t
OR
，且λ+μ+t=1，由坐标相等得到
λ，μ，t，则结论得证；
命题④由已知的向量得到向量
PM
与
PN
的坐标，利用条件
PM
⊥
j
，
PN
与
j
共线且|
PM
|=|
PN
|，列式得到结论．
解答：解：对于①，由
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x＞0，y＞0)且|
OP
-4
j
|=|
OP
+2
i
|，
所以
x2+(y-4)2
=
(x+2)2+y2
，即
x
3
+
2y
3
=1．
又x＞0，y＞0．所以
1
x
+
2
y
=(
1
x
+
2
y
)(
x
3
+
2y
3
)=
5
3
+
2y
3x
+
2x
3y
≥
5
3
+2
2y
3x
•
2x
3y
=3．
所以命题①不成立；
对于②，由
OP
=0
i
+y
j
+z
k
，
OQ
=0
i
+y1
j
+
k
，
所以
PQ
=
OQ
-
OP
=(y1-y)
j
+(1-z)
k
．
由
PQ
与
k
共线且|
PQ
|=|
OP
|，得
y1=y
(y1-y)2+(1-z)2=y2+z2
，
整理得：y2=-2z+1．
所以动点P的轨迹是抛物线，命题②正确；
对于③，由
OM
=a
i
+0
j
+0
k
，
OQ
=0
i
+b
j
+0
k
，
OR
=0
i
+0
j
+c
k
(abc≠0)，则平面MQR内的任意一点
A（x，y，z）满足
OA
=λ
OM
+μ
OQ
+t
OR
，即（x，y，z）=λ（a，0，0）+μ（0，b，0）+t（0，0，c）
所以x=λa，y=μb，z=tc．所以λ=
x
a
，μ=
y
b
，t=
z
c
．
由λ+μ+t=1，得
x
a
+
y
b
+
z
c
=1．所以③正确；
对于④，由
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x∈[0，4]，y∈[-4，4])，
OM
=0
i
+y1
j
+
k
(y1∈[-4，4])，
ON
=x2
i
+0
j
+0
k
(x2∈[0，4])，得
PM
=(-x，y1-y，1)，
PN
=(x2-x，-y，0)．
由向量
PM
⊥
j
，
PN
与
j
共线且|
PM
|=|
PN
|，得
y1=y
x2=x
(-x)2+(y1-y)2+1=(x2-x)2+(-y)2
，整理得：y2-x2=1（0≤x≤4，-4≤y≤4）．
所以动点P的轨迹是双曲线的一部分，所以④正确．
故正确的答案为②③④．
点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了向量的共线即垂直的条件，考查了空间向量的坐标加法与减法运算，该题题目叙述冗长，考查了学生的读题能力，属有一定难度题目．
练习册系列答案
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A、2B、3C、6D、10
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OA
=(1，2，3)，
OB
=(2，1，2)，
OP
=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当
QA
•
QB
取得最小值时，点Q的坐标为（　　）
（2011•徐州模拟）在空间直角坐标系O-xyz中，点P（4，3，7）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为
（-4，3，7）
（-4，3，7）
．
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（1）试建立一个适当的空间直角坐标系O-xyz，求曲面Γ的方程；
（2）指出和证明曲面Γ的对称性，并画出曲面Γ的直观图．
（2011•奉贤区二模）（理）在空间直角坐标系O-xyz中，满足条件[x]2+[y]2+[z]2≤1的点（x，y，z）构成的空间区域Ω2的体积为V2（[x]，[y]，[z]分别表示不大于x，y，z的最大整数），则V2=
7
7
．

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