Question

在空间直角坐标系O-xyz中，已知

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当

QA

•

QB

取得最小值时，点Q的坐标为（　　）

• A．(

  1

  2

  ，

  3

  4

  ，

  1

  3

  )
• B．(

  1

  2

  ，

  3

  2

  ，

  3

  4

  )
• C．(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  8

  3

  )
• D．(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  7

  3

  )

Answer 1

分析：由点Q在直线OP上运动，可得存在实数λ使得

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ），利用数量积可得

QA

•

QB

，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：∵点Q在直线OP上运动，∴存在实数λ使得

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ），
∴

QA

=(1-λ，2-λ，3-2λ)，

QB

=(2-λ，1-λ，2-2λ)．
∴

QA

•

QB

=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）
=6λ²-16λ+10=6(λ-

4

3

)2+

74

9

，
当且仅当λ=

4

3

时，上式取得最小值，
∴Q(

4

3

，

4

3

，

8

3

)．
故选C．

点评：熟练掌握向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性等是解题的关键．