题目内容
【题目】在正四棱柱中,E为AD的中点.
(1)在线段上是否存在点F,使得平面
平面
?并说明理由;
(2)设,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)存在,详见解析(2)
【解析】
(1)找到的中点F,分别证出
平面
与
平面
,即可证明平面
平面
﹔
(2)以D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,写出B,E,C,
点的坐标,再分别求出平面
与平面
的法向量,利用空间向量的夹角公式求出二面角
的余弦值.
解:(1)存在,当F为的中点时,平面
平面
.
因为为正四棱柱,
所以,
.
又因为平面
,
平面
,
所以平面
,
又因为E为AD的中点,F为的中点,
所以且
.
连接AF,故四边形为平行四边形,
所以.
又因为平面
,
平面
,
所以平面
,
又因为,
平面
,
平面
,所以平面
平面
.
(2)以D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
又因为,
,
所以,
,
,
,
所以,
,
.
设平面的法向量为
,则
,即
.
令,解得
,
所以,
同理可求得平面的一个法向量为
.
所以.
所以二面角的余弦值为
﹒
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