题目内容
【题目】如图,将矩形沿折成二面角,其中为的中点.已知,,,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点,连接,,由矩形性质及中位线定理可证明,,即四边形是平行四边形,即可由线面平行判断定理证明平面;
(2)解法一:取的中点,的中点,连接,,,利用线面垂直及面面垂直的性质和判定,可证明即为与平面所成角,结合所给线段关系,即可求解;解法二,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,以垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,根据所给线段关系可求得的坐标,进而求得平面的法向量,即可由线面夹角的空间向量法求解.
(1)证明:取的中点,连接,,如下图所示:
为矩形,且为的中点,
所以,,
又因为,
所以,,
所以四边形是平行四边形,
因此.
又平面,平面,
所以平面.
(2)解法一:取的中点,的中点,连接,,,如下图所示:
由,所以,
又,,所以平面,
所以,又,
已知与相交,所以平面,
所以平面平面.
又,所以平面,所以,
又,,
所以平面.
所以即为与平面所成角,
又,,所以
所以.
解法二:以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,以垂直于平面的直线为轴,建立如下图所示的空间直角坐标系:
则,,,,设,
由即
得所以,,,,,
设平面的法向量,由得
取,
设与平面所成角为,
则
.
【题目】2020年春季,某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车,现有两款车型,根据以往这两种出租车车型的数据,得到两款出租车车型使用寿命频数表如下:
使用寿命年数 | 5年 | 6年 | 7年 | 8年 | 总计 |
型出租车(辆) | 10 | 20 | 45 | 25 | 100 |
型出租车(辆) | 15 | 35 | 40 | 10 | 100 |
(1)填写下表,并判断是否有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关?
使用寿命不高于年 | 使用寿命不低于年 | 总计 | |
型 | |||
型 | |||
总计 |
(2)司机师傅小李准备在一辆开了年的型车和一辆开了年的型车中选择,为了尽最大可能实现年内(含年)不换车,试通过计算说明,他应如何选择.
附:,.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具,即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名,起源于南北朝时期,其中的“纸”指的是宣纸,宣纸“始于唐代,产于泾县”,而唐代泾县隶属于宣州府管辖,故因地而得名“宣纸”,宣纸按质量等级,可分为正牌和副牌(优等品和合格品),某公司年产宣纸10000刀,公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级,如表所示:
x | (48,52] | (44,48]∪(52,56] | (0,44]∪(56,100] |
质量等级 | 正牌 | 副牌 | 废品 |
公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100张)进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正牌纸的利润是10元,副牌纸的利润是5元,废品亏损10元.
(Ⅰ)按正牌、副牌、废品进行分层抽样,从这一刀(100张)纸中抽出一个容量为5的样本,再从这个样本中随机抽出两张,求其中无废品的概率;
(Ⅱ)试估计该公司生产宣纸的年利润(单位:万元).